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       - Les premières applications de la relativité générale  
    Hors série - Science & Vie - 1998-12-01      
    Alors que certaines prédictions de la théorie d'Einstein furent très vite vérifiées par l'observation, le travail sur les solutions de l'équation fondamentale Courbure = Matière donna lieu à plusieurs modèles qui : aboutirent a fonder la première cosmologie physique.  
    La relativité générale prévoit des effets différents de ceux de la théorie newtonienne de la gravitation. Certains de ces effets sont des corrections mineures, par exemple un décalage supplémentaire de 43 secondes d'arc par siècle du périhélie de Mercure. D'autres sont plus importants, tels le doublement de l'angle de déviation des rayons lumineux au voisinage du Soleil. D'autres enfin sont des prédictions originales comme l'existence d'un horizon autour d'un trou noir ou la possibilité d'un Univers en expansion. Les questions liées aux astres compacts, étoiles à neutrons et trous noirs, à l'optique gravitationnelle, aux ondes gravitationnelles ou à la cosmologie du Big Bang. On se limitera ici aux premiers tests de la relativité et aux premières applications cosmologiques de la théorie, par Einstein, de Sitter et Friedman.  
1.  

Le décalage gravitationnel vers le rouge

 
    Les rayons lumineux qui s'échappent d'un corps massif (planète, étoile…) voient leur longueur d'onde augmenter tandis que ceux qui s'en rapprochent la voient diminuer. Cet effet a d'abord été mis en évidence en 1925 en observant le décalage de raies émises par l'atmosphère du Soleil, puis mesuré plus précisément en 1960 par Pound et Rebka sur Terre en mesurant le décalage de fréquence de raies atomiques entre leur émission au pied et leur réception au sommet d'une tour. Ce décalage est une conséquence du ralentissement du temps dans un champ de gravitation, ralentissement qui peut aussi être directement mesuré en comparant des horloges atomiques restées au sol et des horloges placées à haute altitude (avions ou satellites). Ces diverses expériences sont toutes en bon accord (à 1 % près) avec les prévisions de la relativité générale. Incidemment, le système GPS de repérage d'un point sur Terre à partir d'un essaim de satellites utilise des horloges pour mesurer le temps mis par les signaux pour aller des satellites aux récepteurs au sol, et il est indispensable de tenir compte du ralentissement gravitationnel pour obtenir la précision de quelques mètres sur la position qui est aujourd'hui atteinte.  
2.  

Le périhélie de Mercure

 
    La théorie de la gravitation de Newton, dont le succès triomphal avait permis à Adams et à Le Verrier de prévoir l'existence et la position d'une nouvelle planète, Neptune, du seul fait des perturbations apportées à l'orbite d'Uranus, se heurtait à une légère difficulté à la fin du XIXe siècle : le périhélie de Mercure avançait trop vite. De quoi s'agissait-il ? Selon Newton, une planète en orbite autour du Soleil décrit une courbe fermée, une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. La présence des autres planètes perturbe cette ellipse qui ne se referme plus exactement le point le plus proche du Soleil, le périhélie, se décale de la sorte légèrement à chaque orbite. Dans le cas de Mercure, la planète la plus proche du Soleil, ce périhélie avançait plus rapidement que la somme des perturbations des autres planètes ne le prévoyait. L'écart n'était pas colossal, 43 secondes d'arc par siècle, mais il était trop grand pour être imputé à des erreurs de mesure. On pouvait rééditer le succès de Neptune et attribuer cette avance à l'effet d'une planète inconnue à l'intérieur de l'orbite de Mercure. La découverte de cette planète nouvelle, Vulcain, fut même annoncée - à tort. Un léger aplatissement du Soleil aurait pu avoir le même effet, ou un écart à la loi en 1/r2/sup> de la gravitation.  
    Einstein se rendit très vite compte que, dans sa nouvelle théorie, les trajectoires des planètes (les géodésiques de son espace-temps courbe) n'étaient pas fermées et qu'un décalage du périhélie de Mercure en serait une conséquence automatique. Les premières versions de la théorie d'Einstein prévoyaient bien une avance, mais trop petite d'un facteur 2. La version définitive donnait la valeur observée et Einstein en conçut un grand sentiment de triomphe. Sa théorie, en effet, expliquait, sans aucune hypothèse particulière plus ou moins ad-hoc, la rotation séculaire de l'orbite de Mercure. La théorie prévoit 43,03" en parfait accord avec les observations qui indiquent 43,11±0,45".  
    Cette rotation de l'orbite n'est bien entendu pas propre à Mercure. Les autres planètes du Système solaire sont plus éloignées et la rotation prédite est plus faible : 8,6" pour Vénus (8,4±4,8 observés) ou 3,8" pour la Terre (5,0±1,2 observés). Les décalages des périhélies sont beaucoup plus conséquents pour des systèmes d'étoiles binaires où les masses et les distances en jeu conduisent à des rotations de l'ordre du degré par an. Pour un système en orbite serrée comme le célèbre pulsar binaire P5R1913 + 16, on atteint 4,225 degrés par an (à comparer aux 4,2=0,3 prévus par la relativité générale).  
3.  

La déviation des rayons lumineux près du Soleil

 
    La présence d'une masse déforme la géométrie a son voisinage, et les rayons lumineux répondent à cette déformation en se courbant d'autant plus qu'ils passent à proximité de cette masse. Par conséquent, la position apparente des étoiles est modifiée quand le Soleil s'approche de la ligne de visée, et les étoiles semblent s'écarter légèrement de leur position normale en l'absence du Soleil.  
    Ici encore, les premières versions de la théorie d'Einstein prévoyaient une déviation deux fois plus petite que la version finale. Le calcul donne une déviation de 1,75" pour des lignes de visée rasant le bord du Soleil, tandis que la théorie de Newton ne prévoit que 0,87" Bien sûr, la déviation est d'autant plus petite que la ligne de visée s'écarte du Soleil et n'est plus que de 0,004" à 90° du Soleil. Une expédition fut montée en 1919 pour observer cette déviation à l'occasion d'une éclipse de Soleil (il est en effet difficile d'observer en temps normal les étoiles juste à côté du Soleil). La météo ne fut pas très bonne, comme la qualité des observations, mais le résultat annoncé était en bien meilleur accord avec Einstein qu'avec Newton. Cela valut immédiatement à Einstein une célébrité mondiale, qui ne s'est guère démentie depuis, Il reçut le prix Nobel de physique en 1921 … mais pas pour ses travaux sur la relativité !  
    La mesure de ces déviations est aujourd'hui faite par interférométrie radio (ce qui permet de s'affranchir des éclipses) sur des quasars avec une précision de 0,05" qui confirme la valeur indiquée par Einstein. Récemment les mesures extrêmement précises d'astrométrie effectuées par le satellite Hipparcos ont également confirmé cette déviation à partir d'étoiles observées loin de la direction du Soleil.  
4.  

La solution de Schwarzschild

 
    Quand Einstein calcula en 1915 la rotation du périhélie de Mercure, il n'utilisa pas une solution exacte de l'équation de la relativité générale qu'il venait juste d'établir, mais seulement une correction "relativiste "à la solution newtonienne. Quelques semaines plus tard, l'astronome Karl Schwarzschild publia la première solution exact de l'équation d'Einstein donnant la géométrie de l'espace-temps autour d'une masse ponctuelle.  
    Schwarzschild s'était intéressé à la théorie des orbites des 1889 et à la géométrie non euclidienne dès 1900, et il était donc particulièrement intéressé par la nouvelle théorie d'Einstein. Pour résoudre l'équation d'Einstein, il utilisa la symétrie sphérique du problème (toutes les directions de l'espace sont équivalentes autour de la masse ponctuelle) et son caractère statique (la géométrie est indépendante du temps dans le référentiel lié à la masse). Dans le cas général, le tenseur métrique est une collection de dix fonctions quelconques, mais en raison des symétries du problème, ces dix fonctions se ramènent à une seule fonction inconnue pour une géométrie sphérique statique, Schwarzschild pouvait alors injecter cette forme très particulière de la métrique dans l'équation d'Einstein pour déterminer la forme de la fonction inconnue dans le vide (puisqu'il n'y a de matière nulle part en dehors de la masse ponctuelle). Il obtint ainsi la forme exacte et complète de la métrique autour d'une masse ponctuelle (la solution de Schwarzschild bien sûr). Loin de la masse-source, la géométrie de Schwarzschild tend asymptotiquement vers un espace-temps plat. Schwarzschild mourut malheureusement peu de temps après des suites d'une maladie contractée sur le front russe.  
    Quelques années plus tard, Birkhoff montrait que la solution de Schwarzschild était en fait la solution générale de l'équation d'Einstein pour un espace-temps à symétrie sphérique et vide de matière : nul besoin de supposer la masse ponctuelle, la géométrie de Schwarzschild est aussi la géométrie locale autour d'une étoile ou d'une planète, Tolman, Oppenheimer et Volkov la généralisèrent en 1938 pour obtenir la solution à l'intérieur d'une étoile, et cela leur permit de décrire la physique interne d'une étoile à neutrons où les corrections relativistes deviennent très importantes. Oppenheimer et Snyder étendirent ensuite en 1939 cette géométrie pour décrire l'effondrement terminal d'une étoile sur elle-même, aboutissant à un trou noir.  
    Le renouveau des études relativistes dans les années 1960 suscita un regain d'intérêt pour ces solutions de l'équation d'Einstein, ainsi que pour la solution plus complexe obtenue par Reissner en 1916 et Nordström en 1918 (dont on ne comprit qu'en 1960) qu'elle décrivait la géométrie autour d'une masse électriquement chargée) et pour celle découverte par Kerr en 1964 (décrivant la géométrie autour d'une masse en rotation). Puis la théorie des trous noirs prit son envol, mais ceci est une autre histoire.  
5.  

Le retard des signaux passant près d'une masse (effet Shapiro)

 
    En 1964, Shapiro démontra qu'un rayon lumineux n'était pas seulement dévié en passant près d'une masse, mais également que la durée de son trajet était allongée par rapport à une géométrie euclidienne. Il calculait que le retard devait atteindre 200 microsecondes, donc parfaitement mesurable, pour une ligne de visée rasant le Soleil. Il suggéra alors de mesurer systématiquement la durée mise par un signal radar pour effectuer le trajet aller-retour entre la Terre et une planète passant derrière le Soleil (pour que l'effet soit maximal). Cela fut d'abord accompli avec des échos radar sur Mars, Vénus ou Mercure, avec une précision de l'ordre de 20 %. On a également utilisé les liaisons radio avec les sondes spatiales Mariner 6, 7 et 9 et, la précision atteint 0,1 % avec les réflecteurs des sondes Viking qui se sont posées sur Mars en 1976.  
    Le résultat est très net : la durée nécessaire à un signal radar pour faire l'aller-retour Terre-Mars augmente brutalement juste avant que Mars passe derrière le Soleil et diminue tout aussi brutalement quand la planète réapparaît. Les points marron correspondent aux résultats de mesure, la courbe continue à la prédiction de la relativité générale, et la courbe en pointillé au résultat attendu pour une géométrie euclidienne. Cela traduit la courbure prononcée de l'espace-temps juste au voisinage du Soleil.  
6.  

L'effet Nordtvedt

 
    L'effet découvert en 1968 par Nordtvedt n'existe pas en relativité générale, mais il est présent dans plusieurs théories concurrentes (par exemple, celle de Brans et Dicke). Il s'agit essentiellement d'une violation du principe d'équivalence dans laquelle les masses inertielles et gravitationnelles peuvent différer pour des corps liés gravitationnellement, comme les planètes et leurs satellites. Dans ce cas, la Terre et la Lune ne tomberaient pas exactement de la même façon vers le Soleil. Cela induirait une - très faible - perturbation de l'orbite lunaire qu'il est possible de détecter en mesurant la distance de la Terre à la Lune au mètre près. C'est précisément ce que l'on a pu faire entre 1969 et 1976 en utilisant les réflecteurs laser déposés sur la Lune par les missions Apollo. Aucune perturbation n'a été détectée.  
7.  

Les applications cosmologiques

 
    Évoquons maintenant ce qui est peut-être la plus spectaculaire des nombreuses applications de la relativité générale : la cosmologie. Il n'y a pas eu à proprement parler de cosmologie newtonienne, au sens de théorie physique (par opposition à philosophique) de l'Univers. Il y a à cela des raisons liées aux observations : jusqu'à la mesure de la distance de la galaxie d'Andromède en 1924 par Hubble, les astronomes imaginaient rarement que l'univers des étoiles s'étendait au-delà des quelques milliers d'années-lumière de notre galaxie, la Voie lactée. Mais même si les astronomes avaient connu l'existence d'un "Royaume des galaxies", pour reprendre le titre d'un livre de Hubble, ils se seraient heurtés à des raisons plus théoriques : il est impossible de décrire un univers newtonien infini rempli de matière.  
    La relativité générale change cela. L'équation d'Einstein Courbure = Matière a une solution pour un Univers plein. Dès 1917, Einstein obtient une telle solution, moyennant quelques hypothèses simplificatrices. Il considère que la densité moyenne de l'Univers (réduit à l'époque à notre Galaxie) est approximativement uniforme et que les mouvements des étoiles sont, en moyenne, nuls. Le membre de droite de son équation devient alors une simple constante. Quant au membre de gauche, il se simplifie considérablement en utilisant les symétries du problème. La courbure doit être uniforme si la matière est uniformément répartie, toutes les directions spatiales sont équivalentes, et la métrique est donc la même en tout point. De plus, en accord avec les idées des astronomes de l'époque. Einstein recherche une solution statique, indépendante du temps. A ce stade, il ne trouve pas de solution de son équation : il a introduit trop de contraintes.  
    Il commet alors une erreur, qu'il considérera ensuite comme la plus grande de sa vie : il n'abandonne pas l'exigence d'une solution statique. Il ajoute au contraire une liberté supplémentaire à sa théorie en ajoutant un terme constant dans le membre de gauche de son équation, la constante cosmologique. De cette façon, il obtient une solution, qui le satisfait totalement. Son modèle d'univers décrit un Univers statique, homogène, fini mais sans bord (l'analogue d'une sphère). L'exigence d'une solution statique relie la constante cosmologique à la densité moyenne de l'Univers et à sa courbure, ce qui parut à Einstein d'une suprême élégance.  
    Malheureusement, dès la parution de l'article décrivant ce modèle d'Univers, l'astronome de Sitter trouva une autre solution des mêmes équations mais pour un Univers vide de matière. Même sans matière, on pouvait obtenir un Univers statique fermé. Einstein fut profondément déçu, mais il dut admettre qu'il n'y avait pas qu'une seule solution et que le lien entre courbure, constante cosmologique et matière était moins serré qu'il ne l'avait cru.  
    Cet univers de De Sitter était cependant paradoxal. Bien que vide de matière, il était courbé, ce qui semblait remettre en question le lien entre courbure et matière. Et puis surtout, les objets y possédaient des propriétés bizarres : Weyl et Eddington montrèrent en 1923 que si l'on introduisait deux particules dans cet Univers statique (ce qui ne devait guère en perturber la géométrie), elles ne restaient pas immobiles mais s'éloignaient l'une de l'autre avec une vitesse proportionnelle à leur distance. Par conséquent, un tel Univers empli d'étoiles ou de galaxies, en nombre tel que leur densité demeure négligeable devant la constante cosmologique, n'apparaît pas tellement statique aux observateurs : ceux-ci verraient toutes les galaxies s'éloigner les unes des autres avec une vitesse proportionnelle à leur distance, et ils auraient le sentiment "habiter un Univers en expansion.  
    Le modèle de De Sitter connut une popularité certaine au début des années 20 et il a très probablement guidé Hubble dans les observations du mouvement des galaxies qui allaient le conduire à énoncer, en 1929, sa célèbre loi : en moyenne, les galaxies s'éloignent les unes des autres avec une vitesse proportionnelle à leur distance. Eddington montra par ailleurs en 1930 que le modèle statique d'Einstein était en fait aussi instable qu'un crayon en équilibre sur sa pointe : la moindre perturbation de l'homogénéité de cet Univers entraînait soit une contraction inéluctable soit une expansion tout aussi inévitable. L'idée d'un Univers en expansion faisait ainsi son chemin dans les cercles des cosmologistes.  
    Entre-temps, Friedman avait montré en 1922 que l'équation d'Einstein sans terme cosmologique avait une infinité de solutions correspondant à un Univers homogène et isotrope en expansion. Certaines solutions correspondaient à un Univers fini sphérique comme ceux d'Einstein ou de De Sitter, mais en expansion ou en contraction, d'autres à un Univers infini en expansion. Les solutions de Friedman n'eurent pas un grand écho, d'une part parce qu'Einstein les rejeta d'abord comme erronées avant d'en reconnaître la justesse, ensuite parce que Friedman était plus un géophysicien et un météorologue qu'un astronome, et enfin parce qu'il mourut prématurément en 1925.  
    Elles furent en fait redécouvertes et généralisées entre 1927 et 1933 par Lemaître, qui comprit qu'un Univers en expansion impliquait un passé chaud et dense, qu'il appela l'Atome primordial. Il fut ainsi le précurseur de l'actuel modèle du Big Bang, auquel sont également attachés les noms de Gamow et de Hoyle (qui fut et reste son principal opposant mais qui par une certaine ironie du sort - lui apporta une grande part des outils physiques indispensables).  
               
               
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