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les Sarto's > Bienvenue > Sciences > Mathématiques > La malédiction de la mauvaise file
    La malédiction de la mauvaise file  
    Jean-Paul Delahaye - Pour la science, no. 415 - 2012-05-01      
    Sur la route, quand vous être pris dans un ralentissement, la file voisine semble presque toujours plus rapide que la vôtre. Vérité ou impression ?  
    Vous êtes sur l'autoroute. La circulation est chargée. Vous hésitez entre la voie de gauche et la voie de droite. Vous changez une première fois, puis une deuxième, et encore et encore. Au bout de quelques minutes, vous perdez patience: "C'est quand même un peu fort, je suis toujours sur la mauvaise file, sans cesse on me double et si je change de file, c'est la voie que je viens de quitter qui accélère."  
   

23 voies de circulation, toutes bouchées sur plusieurs dizaines de kilomètres… Avez-vous intérêt à changer de file si la vôtre vous semble plus lente ?

 
    Tous les automobilistes ont ressenti cette curieuse sensation de persistante malchance, évidemment impossible : tout le monde ne peut pas toujours être sur la mauvaise file, ni même y être presque toujours ! Cette impression de toujours tomber dans la mauvaise file a intrigué les scientifiques. Ils ont procédé à des enquêtes, à des simulations informatiques et à des calculs mathématiques. Des explications variées et des réflexions inattendues ont été proposées sur ce thème étrange…  
    Notons que les files des magasins, des banques, des cinémas et des administrations provoquent le même sentiment d'injustice obstinée et engendrent la même impatience : bien des remarques proposées ici pour les files de voitures y restent valables. Voyons les solutions fantaisistes au paradoxe de la mauvaise file.  
    Explication par la loi de Murphy
(vulgairement : loi de l'emmerdement maximum), "Si ça peut mal se passer, cela se passera mal. Il n'y a donc rien d'étonnant à se retrouver toujours dans la mauvaise file." Bien sûr, invoquer cette loi est ridicule : il est absurde de croire que tout le monde a tout le temps de la malchance en tout !
 
    Explication par la maladresse
"Les files avancent alternativement l'une plus vite que l'autre, et moi, gros maladroit, je change de file quand cela va bientôt être à la mienne d'avancer."
 
    Celui qui s'imagine être poursuivi par le mauvais sort peut se satisfaire de cette explication, mais là encore ce n'est pas sérieux. À moins d'une raison particulière et identifiée, il n'est pas rationnel de penser qu'une personne, quelle qu'elle soit, change toujours malencontreusement de file.  
    Ces deux premières explications irrecevables amènent la question : Y a-t-il une illusion de mauvaise chance de la part des automobilistes ? Une expérience menée par deux chercheurs canadiens, Donald Redelmeier et Robert Tibshirani a établi que c'est le cas.  
    De l'intérieur d'une voiture prise dans un ralentissement, ils ont longuement filmé la file voisine. Une séquence de plusieurs minutes a été sélectionnée, comportant un grand nombre de dépassements soit de la file voisine, soit de la file de la voiture portant la caméra. La séquence retenue est telle que pendant sa durée la voiture portant la caméra est légèrement plus rapide que la file voisine. Celui qui est dans la voiture de la caméra doit donc juger qu'il a de la chance et ne pas être tenté de changer de file. Le film sélectionné a été projeté à 120 sujets, qui ont indiqué à l'issue de la projection comment ils avaient évalué la situation. Une proportion de 86% des sujets a jugé que le film était réaliste, 70% des sujets ont considéré que la file voisine avançait plus vite que celle de la caméra, et 65% ont admis qu'au volant de la voiture à la caméra, ils auraient changé de file.  
    L'illusion de malchance est patente. Reste à l'expliquer par des considérations raisonnables.  
   

Biais de mémorisation ?

 
    Explication par un biais de mémorisation dû à des oublis sélectifs
"Je me souviens mieux de ce qui est désagréable que de ce qui est agréable. Donc, même si ce n'est pas vrai, j'ai l'impression d'être plus souvent dépassé que l'inverse."
 
    Les psychologues qui ont étudié ces questions ont conclu que s'il y a des biais de mémorisation liés aux situations de plaisir et de déplaisir. Ils conduisent le plus souvent, au contraire, à oublier sélectivement ce qui est pénible, provoquant même dans certains cas extrêmes des amnésies graves des événements traumatisants. Une tentative d'explication de l'illusion de la mauvaise file parles biais généraux de mémorisation ne semble donc pas possible.  
    Explication par un biais de mémorisation dû aux conditions d'observation
"À l'arrêt, je m'ennuie, mon cerveau est disponible, je regarde la file d'à côté plus animée que la mienne. Lorsque je suis dans la file rapide, je suis concentré sur la voiture qui me précède, je ne regarde pas la file d'à côté. De ce fait, je surévalue le nombre de cas où je suis dépassé."
 
   

Doubler ou être doublé ?

 
    L'illusion de la file lente (croire qu'on se trouve toujours dans la plus mauvaise file d'un ralentissement autoroutier) provient de la dynamique des files de voilures. Les files lentes sont denses, alors que les files rapides sont composées de voitures en général bien espacées. Même lorsque ma file et la file voisine avancent en moyenne à la même vitesse, je vis plus de "secondes négatives"(secondes pendant lesquelles on me dépasse) que de "secondes positives"(secondes durant lesquelles je dépasse). Cela me donne l'illusion de me trouver dans la mauvaise file et l'effet est d'autant plus important que la vitesse moyenne est faible.  
    Celle explication proposée en 2000 par Donald Redelmeier et Robert Tibshirani a été testée par des simulations informatiques.  
   
 
   

 

 
    À cette explication plausible, s'ajoute une autre explication du même type : "Quand je suis doublé, je le suis par des véhicules largement espacés, car ils vont assez vite, je les vois passer les uns après les autres très distinctement et longuement puisqu'ils partent devant moi. En revanche, lorsque je double une file de voitures immobilisées ou presque immobilisées, elles sont serrées, je les double très vite souvent à raison de plusieurs par seconde."  
    Comme la précédente, cette explication est assez vraisemblable. Pour lui donner de la consistance, D. Redelmeier et R. Ilbshirani ont simulé informatiquement un ralentissement autoroutier, mesuré les flux de véhicules ainsi créés et mesuré l'impression subjective qu'en tire un automobiliste présent dans ces files artificielles.  
    Les embouteillages simulés étaient tels que toutes les files avançaient à la même vitesse moyenne : aucun automobiliste ne devait s'y trouver favorisé ou défavorisé. Dans leur modèle informatique, chaque véhicule d'un encombrement simulé possède un objectif de vitesse (par exemple 90 km/h). S'il roule à une vitesse inférieure et qu'il n'y a pas d'autre véhicule juste devant lui, il accélère jusqu'à atteindre cette vitesse, qu'il ne dépasse pas. Bien sûr, si un véhicule B est devant et roule moins vite qu'un véhicule A, le véhicule A ralentit pour éviter le choc, adopte la vitesse de B en laissant une distance de sécurité entre B et lui.  
   

Davantage de secondes négatives que de positives !

 
    Des études menées en psychologie ont montré que les gens pris dans des queues parallèles évaluent leur vitesse en regardant les files voisines. D'où l'idée de définir des secondes positives et des secondes négatives. Une seconde positive est, par définition, un intervalle de temps d'une seconde pendant lequel je dépasse une ou plusieurs voilures, une seconde négative est un intervalle de temps d'une seconde durant lequel je suis dépassé par une ou plusieurs voitures.  
    Dans les simulations réalisées, une proportion relativement faible des secondes écoulées était des secondes positives ou des secondes négatives. Sur une période de 10 minutes, les chercheurs ont trouvé une moyenne de 76 des 600 secondes dans l'une des deux catégories. Les résultats des calculs indiquent que sur 600 secondes, 43 sont négatives et 33 positives, ce qui explique l'illusion de la mauvaise file, qui est donc non seulement réelle, mais compréhensible grâce au modèle informatique.  
    Bien sûr, lorsque deux files avancent à la même vitesse moyenne, une voiture est dépassée en moyenne autant de fois qu'elle dépasse (45 fois sur une période de 10 minutes dans la simulation). L'inégalité vient du fait mentionné plus haut que les dépassements que l'on fait ont tendance à se produire de manière rapprochée (plusieurs par seconde), alors que les dépassements que l'on subit sont plus espacés (donc moins souvent regroupés dans une même seconde).  
    La conclusion est bien évidemment que si aucune file n'est plus rapide qu'une autre, il faut corriger notre jugement. C'est important du point de vue de la sécurité, car tout changement de file entraîne un certain risque qu'il est stupide de prendre inutilement. Éduquer les conducteurs pour qu'ils soient conscients de l'illusion de la mauvaise file diminuerait les accrochages.  
    Ces explications proposées par les chercheurs canadiens sont complétées par d'autres études fondées uniquement sur le calcul.  
    Le problème posé n'est pas exactement le même, mais il confirme qu'il y a des raisons identifiables de se tromper quand on tente d'évaluer la vitesse moyenne des autres véhicules sur une route ou une autoroute.  
    Lorsque vous roulez à une certaine vitesse, cette fois sur une autoroute dégagée, vous ne voyez pratiquement aucune voiture roulant à la même vitesse que la vôtre : si un véhicule roule à la même vitesse que vous, vous ne le dépassez pas et vous n'êtes pas dépassé par lui !  
    Quelqu'un qui tente de calculer la moyenne des vitesses des voitures présentes en même temps que lui sur l'autoroute en prenant en compte les véhicules qu'il aperçoit (par exemple pendant une heure) fera un calcul biaisé. Il ne verra pratiquement aucune voiture roulant à des vitesses proches de la sienne, il verra un peu plus les voitures dont la différence de vitesse avec la sienne est de 10 km/h el il verra de nombreuses voitures sensiblement plus rapides que la sienne, ou sensiblement plus lentes.  
   

Des biais d'observation

 
    Comment ce biais d'observation se traduit-il ? Bryan Dawson et Troy Riggs, tous deux professeurs de mathématiques à l'Union Universify de Jackson, ont mené des calculs pour répondre à ces questions. Ils ont supposé que les vitesses des voitures sur une autoroute (sans bouchon) se répartissent selon une loi normale, ce qui est l'hypothèse la plus raisonnable. Sur cette base, ils ont calculé le biais d'observation des automobilistes qui tentent d'évaluer la vitesse des autres automobilistes en faisant la moyenne des vitesses qu'ils observent pour les véhicules qui les dépassent et ceux qu'ils dépassent (les automobilistes calculant ces moyennes disposent de moyens pour connaître la vitesse des véhicules et la leur).  
    Le biais d'observation dépend bien sûr de la vitesse de celui qui fait l'évaluation.  
   

La vitesse moyenne perçue

 
    Bryan Dawson el Troy Riggs ont évalué le biais d'observation d'un automobiliste essayant de calculer la moyenne des vitesses des véhicules qu'il aperçoit sur une autoroute fluide.  
    Ils ont supposé, hypothèse raisonnable, que la vitesse des véhicules se répartissait très différente de la distribution selon une loi normale de Gauss-Laplace, centrée sur 68 miles par heure (les calculs ont été faits par des Américains…).  
    Une voiture voit très peu de voitures roulant à la même vitesse. Les voilures ayant des vitesses bien différentes sont surreprésentées (on en dépasse plus, ou, au contraire, on est souvent dépassé par elles) d'où une distribution de vitesses perçue réelle des vitesses. Une voiture roulant à 65 miles par heure voit ainsi la fausse distribution de la première courbe qui lui donne l'impression que beaucoup plus de voitures qu'il n'y en a en réalité vont plus vite qu'elle. L'effet général sur la vitesse moyenne perçue dépend de la vitesse à laquelle on roule. Il est donné par la courbe de droite.  
    Si on roule un peu en dessous de la moyenne, on perçoit une vitesse moyenne surévaluée, alors qu'inversement si on roule un peu au-dessus, on sous-évalue la vitesse moyenne.  
   
 
   

 

 
   
  • Si vous êtes un peu au-dessous de la moyenne générale des véhicules de l'autoroute, vous aurez l'impression que les voitures roulent plus rapidement que cette moyenne. Vous aurez donc le sentiment d'être particulièrement lent, ce qui sans doute vous incitera à accélérer un peu.
  • Si, au contraire, vous êtes un peu au-dessus de la moyenne générale, vous percevrez la moyenne des autres véhicules comme sensiblement inférieure à ce qu'elle est vraiment. Vous aurez donc le sentiment d'être vraiment trop rapide par rapport aux autres véhicules, ce qui vous encouragera à ralentir.
 
    L'effet global de la mauvaise appréciation des vitesses des autres véhicules dans le cas d'un trafic fluide est donc favorable à la sécurité de tous : il tend à uniformiser les vitesses et augmente donc la sécurité. Les biais de perception n'ont pas nécessairement des effets désastreux !  
    Notons cependant qu'il n'y a pas de contradiction entre les conclusions des chercheurs canadiens obtenues par simulation et les conclusions des mathématiciens de l'Université de Jackson. En effet, bien que s'appliquant aux situations de circulation fluide (à cause de l'hypothèse d'une distribution normale des vitesses), il n'est pas absurde de penser que la surévaluation de la vitesse des autres véhicules a perçus par un véhicule lent s'applique grossièrement aussi aux voitures prises dans un embouteillage.  
    Le calcul mathématique de B. Dawson et T. Riggs confirme l'idée des Canadiens : dans une file lente, on surévalue la vitesse moyenne des autres véhicules, ce qui incite à changer de file inutilement : l'effet intéressant d'accélération des files lentes et de ralentissement des files rapides dans un trafic fluide devient dangereux dans le cas des embouteillages.  
    Tout semble clair et bien cohérent puisque les expériences avec des films, les simulations informatiques, et les calculs mathématiques aboutissent aux mêmes conclusions dans le cas des embouteillages.  
    Malheureusement, les prob1èmes d'évaluations probabilistes présentent d'autres pièges dans le cas d'une autoroute avec plusieurs voies de circulation roulant à des vitesses moyennes différentes.  
    Les conclusions que nous avons obtenues dans le cas des embouteillages l'ont été sous l'hypothèse que les files ont en moyenne des vitesses égales. Bien sûr, dans la réalité ce n'est pas toujours le cas. Il existe une multitude de raisons conduisant deux files d'autoroute ou de périphérique à avoir des vitesses différentes. Un accident sur l'une des voies, une bretelle d'entrée quelques centaines de mètres en avant, la suppression d'une des voies due à un rétrécissement, un conducteur excessivement prudent et timoré qui ralentit tous ceux qui le suivent, une file réservée aux camions…  
    Tout cela conduit à la mise en place de régimes de circulation où l'une des files avance réellement moins vite que sa ou ses voisines. Si vous être pris dans une telle file, il devient rationnel d'en changer. L'illusion de la file lente existe, oui, mais les vraies files lentes aussi !  
    La situation créée par ces files avançant à des vitesses différentes est délicate à traiter du point de vue des statistiques. Plusieurs effets de sélection et de perspective s'y produisent et perturbent les évaluations des probabilités quand nous voulons répondre à la question : ai-je de la chance, oui ou non ?  
   

Le paradoxe des files lentes et rapides

 
    Une section d'autoroute d'une longueur de 18 km possède deux voies R et L. A cause de trous dans la chaussée (par exemple), la voie L est lente et la voie R est rapide. Les voitures n'ont pas le droit de changer de file sur cette section.  
    La voie L avance à 18 km/h (5 m/s). Les voitures sur la voie L sont séparées de 5 mètres et donc, en un point donné de la voie L, il passe une voiture chaque seconde. Une voiture engagée sur L y reste une heure avant d'arriver à l'extrémité de la section. A chaque instant, il y a 3'600 voitures sur la voie L.  
    La voie R avance à 72 km/h (20 m/s). Les voitures sur la voie R sont espacées de 10 mètres et donc en un point donnéede la voie R, il il passe deux voitures, par seconde. Une voiture engagée sur R y reste 15 minutes. À chaque instant il y a 1'800 voitures sur la voie R. Une voiture sur la voie R double trois voitures de la voie L par seconde et une voiture sur la voie L est doublée trois fois toutes les deux secondes.  
    Je suis sur cette autoroute, il se produit un dépassement; quelle est la probabilité P1 que je sois celui qui double ? quelle est la probabilité P2 que je sius celui qui est doublé ?  
Raisonnement 1   A chaque dépassement, il y a une voiture dépassée et une voiture qui dépasse : j'ai donc autant de chance d'être dans l'une ou l'autre. La réponse est P1 = P2 = 1/2.  
Raisonnement 2   Sur les 18 kilomètres de la section d'autoroute, il y a 3'600 voitures lentes et 1'800 voitures rapides. J'ai donc deux chances sur trois d'être dans une voiture lente et une chance sur trois d'être dans une voiture rapide. Si je suis dans voiture lente, au prochain dépassement, je serai dépassé, si je suis dans une voiture rapide, je dépasserai. Les réponses sont donc : P1 = 1/3 et P2 = 2/3.  
Raisonnement 3   À l'entrée de la section, il passe une voiture lente par seconde et deux voitures rapides par seconde (c'est le cas en fait en chaque point du tronçon). En me présentant à l'entrée de l'autoroute, si je ne sais pas qu'elle est la voie rapide et la voie lente, et que les voitures se disposent au hasard, je serai 2 fois plus souvent sur la voie rapide que sur la voie lente (elle absorbe deux fois moins de véhicules). Quand j'emprunte cette section d'autoroute, je suis donc deux fois sur trois dans une voiture qui dépasse et une fois sur trois dans une voiture qui est dépassée. Les réponses sont donc : P1 = 2/3 et P2 = 1/3.  
    C est ennuyeux ! Les trois calculs parfaitement rigoureux aboutissent à trois conclusions différentes ! Comment expliquer ce qui apparait comme une absurdité· totale ? (La solution du paradoxe est donnée dans le texte principal)  
   
 
   

 

 
    Il y a trois raisonnements possibles. Le premier est qu'à chaque dépassement, il y a une voiture dépassée et une voiture qui dépasse. Quand il y a un dépassement, j'ai donc une chance sur deux d'être dépassé ou de dépasser.  
    Le deuxième est que si l'une des files avance plus vite, les véhicules y seront plus espacés que dans la file lente où les voitures s'agglomèrent. Sur la section d'autoroute, il y aura donc plus de voitures dans la file lente que dans la file rapide et en moyen ne nous nous trouverons plus fréquemment dans la file lente (dont l'effectif est plus grand que dans la file rapide (comportant moins de véhicules). Si toutes les files ne vont pas à la même vitesse, le sentiment de ne pas avoir de chance est donc fondé objectivement; d'après ce deuxième raisonnement, on se retrouve vraiment plus souvent dans la mauvaise file. Remarquons que cette conclusion contredit la conclusion du premier raisonnement… mais ce n'est pas fini.  
    Un troisième raisonnement est encore possible. Les files rapides, même si les véhicules y sont moins serrés, ont des débits plus importants que les files lentes (souvent presque immobilisées) : il y passe un plus grand nombre de voitures par seconde, car elles ne se gênent pas mutuellement (un bouchon diminue le débit de voitures). Il en résulte que parmi toutes les voitures qui s'engagent dans une section où il y a une file lente et une file rapide et que personne ne change de file, il y a plus de voitures qui empruntent la file rapide que de voitures qui empruntent la file lente. Celui qui à l'entrée de la section, choisit au hasard une file se trouvera plus fréquemment dans la file rapide que dans la file lente.  
    Trois raisonnements donnent trois conclusions différentes ! Comment s'en sortir ? La situation est analogue à celle du paradoxe de Bertrand où l'on s'interroge sur la probabilité que la longueur d'une corde tirée au hasard sur un cercle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle.  
    Les trois raisonnements calculent trois probabilités qui, contrairement aux apparences, ne correspondent pas à la même question. En effet, il n'est pas équivalent :  
   
  • de choisir au hasard une voiture en train d'être dépassée ou de dépasser (raisonnement 1);
  • de choisir une voiture au hasard à un instant donné sur la section d'autoroute, et de s'interroger pour savoir si, lors du prochain dépassement, elle dépassera ou sera dépassée (raisonnement 2).
 
    Et ces deux questions sont différentes de celle qu'on se pose avant d'arriver sur la section d'autoroute : vais-je avoir de la chance