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    La loi des grands nombres ou loi de Benford  
    Jean-Paul Delahaye - Science & Vie Junior, no 268 - 2012-01-01      
    Dans une liste de nombres prise au hasard et suffisamment longue, la quantité de 1, 2, 3… ou 9 devrait être la même.
Sauf qu'en pratique…
 
    Prenez la liste des numéros de téléphone de votre portable. Comptez combien de fois chacun des chiffres 1 de 0 à 9) occupe la dernière place. Si vous avez assez de contacts, vous devriez obtenir à peu près le même score pour chacun : c'est la "loi des grands nombres".  
    Chère aux statisticiens, elle assure que sur une liste assez longue, chacun des chiffres se trouvera à peu près dans la même quantité que les autres. Evidemment, ça ne manche pas si vous prenez le premier chiffre des numéros de téléphone, qui est toujours 0, ou le deuxième, qui dépend du fait d'avoir un portable ou de la région dans laquelle se trouve la personne que vous appelez. De même, si vous notez le dernier chiffre des prix dans les supermarchés, le "9" risque d'être sur-représenté, en raison de la mode des prix qui finissent par 9,99. On dit alors qu'il y a des biais. Pour vérifier cette loi sur un très grand nombre de chiffres, il faut trouver un échantillon énorme et sans biais. Essayons. Par exemple, faites la liste de tous les nombres que vous trouvez dans votre dernier Science et Vie Junior et qui correspondent à des mesures (poids, longueurs, altitudes…) ou à des choses qui peuvent se compter (sommes d'argent, nombre de personnes). Ou encore, prenez une carte topographique de France et relevez le premier chiffre de l'altitude de tous les sommets que vous y trouverez. On s'attendrait, comme peur les numéros de téléphone, à trouver à peu près autant de chaque chiffres (sauf le 0 qui ne se trouve jamais au début, bien sûr). Et pourtant, le 1 et le 2 reviennent beaucoup plus souvent que les autres, et on trouve très peu de 8 ou de 9. Rien ne va plus !  
    Cette étrangeté est connue sous le nom de "loi de Benford", et on ne sait pas toujours l'expliquer, même si les mathématiciens ont quelques idées sur la question. Le cas le plus simple à saisir, ce sont les premiers chiffres des numéros des pages d'un livre. Si l'ouvrage compte 350 pages, le déséquilibre est évident : entre 1 et 99, il y a exactement autant de numéros de pages qui commencent par 1 que par 9. Mais toutes les pages entre 100 et 199 commencent par 1, toutes celles qui se trouvent entre 200 et 299 par 2, celles entre 300 et 350 par 3 et voilà ! Il n'y en aura aucune qui commencera par un chiffre plus grand que 3. Dans ce cas particulier, l'égalité promise par la "loi des grands nombres" ne se vérifiera donc que pour les ouvrages comptant exactement 99, 999 ou 9999 pages… Alors que si l'on s'intéresse, cette fois, aux derniers chiffres des numéros de page, on retombe dans le cadre de la loi des grands nombres, chaque chiffre étant également représenté. Pour les altitudes, c'est plus compliqué : le fait qu'en France, les sommets soient tous en dessous de 4810 m peut peut-être l'expliquer en partie, mais pas complètement. Contrairement aux pages d'un livre, il n'y a pas un sommet pour chaque altitude possible. La loi de Bendford s'explique alors par l'accumulation de plusieurs biais.  
   

Benford coince les escrocs !

 
    Instinctivement, on s'imagine qu'un événement qui tient du hasard va être "équiprobable", c'est-il-dire que tous les résultats possibles ont autant de chances les uns que les autres d'arriver. C'est effectivement le cas quand on joue à pile ou face, ou quand on lance un dé, à chaque lancer, Il y a exactement autant de chances d'obtenir pile que face, ou n'importe lequel des nombres entre 1 et 6. Mais ce n'est pas toujours le cas. La loi de Benford permet ainsi de repérer des personnes qui truquent leurs comptes : dans leur liste d'entrées ou de sorties d'argent inventées, trop de sommes commencent par 8 ou 9. Pauvres escrocs, ils ne s'imaginaient sans doute pas être trahis par les maths !  
   

 

 
       
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