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    Le mystérieux abaque de Gerbert d'Aurillac  
    Alain Schärlig - Pour la science, no 414 - 2012-04-01      
    Au Xe siècle, un jeune moine français inventa un abaque qui, pour la première fois, permettait d'effectuer des divisions. Alors qu'en Occident, on énumérait en chiffres romains, il utilisa une numérotation très proche des chiffres arabes.  
    Calculer au Xe siècle n'était pas une mince affaire. Les nombres étant notés en chiffres romains, il était impossible de poser une opération par écrit. Essayez d'additionner DCCCLXXVI et CCCLXXXVII (qui s'écrivaient d'ailleurs dcccbexvj et ccclxxxvij, en cursives liées) ! Aussi employait-on une représentation physique des nombres sous forme de jetons identiques disposés sur des lignes parallèles tracées sur une table. Nommées abaque, ces lignes constituaient, avec les jetons, la machine à calculer de l'époque. On y lisait les résultats, qu'on écrivait ensuite, par exemple, sur une feuille de compte.  
    Effectuer une addition à l'aide d'un abaque était relativement aisé (de nos jours, un enfant de dix ans l'apprend facilement); la soustraction était plus délicate, la multiplication demandait un grand nombre de manipulations et la division était tout simplement hors de portée.  
   

La statue de Gerbert à Aurillac, érigée dans les années 1950 en l'honneur du pape de l'an mil. La tiare papale à trois niveaux est un anachronisme : les papes ne l'ont portée qu'à partir du XIVe siècle.

 
   

Pape de l'an mil

 
    C'est alors qu'un moine, Gerbert d'Aurillac, inventa un abaque révolutionnaire - bien plus compliqué, certes, au maniement beaucoup plus lourd, mais qui permettait d'effectuer des divisions. Cette invention resta confinée à quelques monastères. Pourtant, elle aurait dû faire le bonheur des comptables. Surtout, Gerbert y utilisait, pour la première fois en Occident, une notation qui s'imposa deux siècles plus tard comme un système de numération bien pratique pour les calculs : les chiffres arabes. Pourquoi Gerbert éprouva-t-il le besoin de construire un tel abaque ? Comment fonctionnait-il ? Quelle inspiration guida Gerbert ? Pourquoi ne poussa-t-il pas plus loin ses réflexions sur les chiffres arabes, jusqu'à présenter lui-même le système de numération qu'ils sous-tendent ? Telles sont les questions auxquelles nous allons essayer de répondre.  
    Gerbert d'Aurillac est surtout connu pour la fonction qu'il occupa de 999 à 1003, date de son décès : il fut le premier pape français, sous le nom de Sylvestre Il. Suite au décès subit du pape Grégoire V, l'empereur du Saint empire romain germanique dont il était le protégé, Othon III, l'avait fait nommer au poste suprême de l'Église catholique. Il était alors archevêque de Ravenne, en Italie, depuis un an, et avait tout juste 50 ans. Mais Gerbert était aussi un savant, réputé en Europe pour ses connaissances en astronomie, et un enseignant novateur de cette discipline.  
    Né dans une famille modeste peu avant 950, il était entré comme oblat, c'est-à-dire comme enfant offert, au monastère Saint-Géraud, à Aurillac dans le Massif central, où il était devenu moine bénédictin. À l'instigation de son abbé, qui espérait sans doute le voir revenir instruit et capable de dispenser un enseignement supérieur, il avait séjourné en Catalogne de 967 à 970 sous la protection du comte de Barcelone Borrell II, qui l'avait confié à Hatton, évêque de Vich, une commune voisine de Barcelone. Hatton était réputé très savant dans les quatre disciplines du quadrivium, la seconde partie de l'enseignement des "arts", qui comportait l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Gerbert avait déjà suivi à Aurillac la première partie de l'enseignement, le trivium, qui comportait la grammaire, la rhétorique et la dialectique.  
   

Ce dessin de l'abaque de Gerbert tiré d'un manuscrit conservé à Erlangen, en Allemagne, date du XIIe siècle. Les adjonctions manuscrites n'ont rien à voir avec les jetons de l'abaque; elles sont l'oeuvre d'un "compilateur "qui voulait faire croire que l'abaque était une invention de Boèce, un auteur latin du VIe siècle. On reconnaît en haut, de droite à gauche, les chiffres arabes de 1 à 9 en usage à l'époque en Europe. Le cercle avec un triangle n'est pas un zéro, mais un sipos, qui marque une position au cours d'un calcul. En dessous, on lit, en chiffres romains, les valeurs respectives des colonnes (unités l, dizaines X, centaines C, etc.) et aux lignes suivantes la moitié, le quart et le huitième de ces valeurs. Le texte au-dessus de ce document est extrait des comptes de Thoune, en Suisse (XVe siècle). On y lit 2 livres, 13 sous et 4 deniers, en chiffres romains cursifs.

 
    En 970, Gerbert, âgé d'une vingtaine d'années, avait accompagné à Rome, sans doute comme secrétaire, le conte Borrell Il et Hatton, qui devaient y négocier auprès du pape l'avenir de l'Église catalane. Il y était resté à la demande d'Othon Ier, empereur du Saint empire romain germanique, et avec l'autorisation du pape. Il y avait acquis une réputation de savant, donnant même des leçons au futur Othon Il, fils d'Othon 1er (et futur père d'Othon III qui, nous l'avons vu, devint le protecteur de Gerbert). De retour en France en 972, Gerbert s'était rendu à Reims, où il était devenu écolâtre à l'école cathédrale, c'est-à-dire professeur d'université avant la lettre. Il y enseignait trivium et quadrivium. Et dans ce dernier domaine, il donnait une forte prépondérance à l'astronomie… et au calcul.  
   

Un écolâtre érudit

 
    Il semble que Gerbert avait des connaissances en astronomie bien plus larges que quiconque en France à cette époque. Il savait construire des cadrans solaires et un nocturlabe (un instrument donnant l'heure la nuit en fonction du mouvement des étoiles de la Grande Ourse), et connaissait le mouvement des planètes autour de la Terre et la position des constellations. Il savait en outre rendre la discipline accessible à ses étudiants, notamment en recourant à des modèles qu'il inventait, telles une sphère céleste avec ses parallèles et ses pôles, ou une sphère armillaire, formée d'anneaux et de cercles, que Gerbert avait pourvue d'un mécanisme lui permettant de faire comprendre le mouvement des planètes.  
    C'est dans ce cadre que Gerbert enseigna les règles de multiplication et de division sur son abaque, afin, explique-t-il dans une lettre adressée à un ami vers 980, que ces opérations puissent être utilisées "en toute bonne foi dans la théorie et la pratique de la mesure du ciel et de la terre".  
   

Un abaque pour la division

 
    L'abaque de Gerbert est constitué de colonnes verticales, que nous appellerions décimales, et que l'on dessine en nombre suffisant pour le calcul envisagé : par exemple quatre, si les nombres à traiter vont jusqu'aux milliers. Son originalité tiend aux jetons que l'on utilise : ils sont non pas neutres, comme ceux de l'abaque classique, mais marqués chacun d'un chiffre. L'utilisateur dispose de neuf tas de jetons, portant les Chiffres de 1 à 9. Et ces chiffres sont arabes, ce qui représente la première apparition de cette notation en Europe. Mais attention : il ne s'agit pour l'Instant que d'un marquage. Les chiffres arabes et le zéro n'ont été introduits que beaucoup plus tard - à la fin du XIIe siècle – et, grâce à eux, la numération de position que nous pratiquons encore.  
   

Une mutiplication sur l'abaque de Gerbert, tirée d'un exemple de son élève Bernelin : 12 x 20'736. Effacez les colonnes et les cercles représentant les jetons et vous obtiendrez une opération très proche de la multiplication en numération de position telle que nous la réaliserions; il n'y manque que le zéro de 20'736, représenté par un vide dans la colonne des milliers.

 
    Cette numération est dite de position, car la position de chaque chiffre dans le nombre informe sur son statut : dans 389, par exemple, on lit le 8 comme une quantité de dizaines, parce qu'il est dans la position des dizaines. Or cette notation n'a été possible qu'avec l'apparition des chiffres arabes et, surtout, du zéro (qui permet d'écrire que dans 309, il n'y a pas de dizaines). Alors seulement, on a pu effectuer des calculs par écrit, en alignant par exemple les nombres d'une addition sur leurs chiffres des unités.  
   

Une division sur l'abaque de Gerbert

 
    Sur l'abaque de Gerbert, la division se fait en plusieurs étapes. En voici un exemple simple adapté du Livre d'abaque de son élève Bernelin : la division de 888 par 5. Les jetons qui jouent un rôle à chaque étape sont mis en évidence.  
    En premier lieu, on pose le problème (a) : on écrit le diviseur puis le dividende deux fois, d'abord comme témoin (on ne le louchera plus), et en dessous pour le diminuer à mesure qu'on divise et savoir ce qui reste à diviser. Puis on répond à la question "en 8 combien de fois 5 ? "pour le B de la colonne C des centaines (b). La réponse, 1, est placée au bas de la colonne des centaines, et on soustrait 5 du second dividende : il reste 3. La question suivante est plus subtile (c) : "En 3 de la colonne C, combien de fois 5 pour un résultat en colonne X ? "La réponse, 6, est posée sur la colonne X des dizaines, et on enlève le jeton 3, car il n'y a pas de reste.  
    Cette complication résulte de l'absence du zéro et de l'ignorance de la numération de position : ne pouvant dire que le nombre formé par 3 de la colonne C du point de vue de la colonne X est 30, le calculateur ancien est réduit à appliquer des "règles "compliquées.  
    On refait ensuite le même calcul qu'en (b), décalé d'une colonne vers la droite (d); "En 8 (de la colonne X) combien de fois 5 ? La réponse, 1, est inscrite au bas de la colonne et on soustrait 5 de ce 8 : il reste 3. On recommence alors le même calcul qu'en (b), décalé d'une colonne vers la droite (e) : "En 3 de colonne X, combien de fois 5 pour un résultat en colonne I ?"la réponse, 6, est posée en bas de la colonne des I, et le jeton 3 est retiré, car il n'y a pas de reste. Enfin, le même calcul qu'en (d) est effectué, décalé d'une colonne vers la droite (f). La réponse, 1, est placée au bas de la colonne, et le reste, 3, remplace le jeton 8 des unités. Les quotients partiels, en bas de l'abaque, sont additionnés, et on trouve 177, le quotient de la division (g). Le 3 est, quant à lui, le reste de la division.  
   
 
   

 

 
    Il ne nous est pas parvenu de description, par Gerbert, de l'utilisation de son abaque. On dispose heureusement du texte de Bernelin, un élève de Gerbert qui a rapporté sa méthode alors que son maître était pape, entre 999 et 1003. Bernelin ne donne qu'une description textuelle de ses divisions, sans aucun dessin. Son texte ressemble ainsi à une suite d'instructions assez absconses : ne pouvant utiliser le zéro, ni se référer à la numération de position - qu'il connaissait pourtant peut-être, on y reviendra -, Gerbert avait été obligé d'énoncer toute une série de règles, définissant la colonne dans laquelle on place tel jeton en cours de calcul en fonction des colonnes où l'on a lu tel chiffre du dividende et tel autre du diviseur. Néanmoins, on comprend les étapes de la division en se reportant à l'opération telle que nous la pratiquons aujourd'hui.  
   

Un bénéfice de son séjour en Catalogne ?

 
    Un grand mystère entoure le calculateur Gerbert : où a-t-il puisé les idées qui l'ont conduit à son abaque ? Celui-ci n'existait pas chez les Arabes de son temps, et c'est donc une invention personnelle. Mais il présente de telles ressemblances avec notre numération de position, alors déjà connue des Arabes, qu'on peut faire une hypothèse raisonnable : Gerbert en aurait pris connaissance au cours de son séjour en Catalogne, quand il avait une vingtaine d'années. À cette époque, la Catalogne, qui ne portait pas encore son nom, était la partie orientale de la Marche d'Espagne, une bande de terres longeant les Pyrénées que Charlemagne avait conquise aux Arabes à la fin du VIIIe siècle. Le reste de l'Espagne était dominé par l'es Arabes. Plusieurs historiens pensent que lors de son séjour dans la Marche, Gerbert a été en contact avec la science arabe, sans doute par l'intermédiaire du monastère de Santa Maria à Ripoll, à 40 kilomètres au Nord de Vich, où des moines recopiaient des traductions latines d'ouvrages arabes sur l'astronomie, la géométrie et l'arithmétique.  
    Mais pourquoi, alors, Gerbert n'aurait-il pas préconisé tout simplement le calcul écrit, que cette numération permettait ? C'est un autre mystère, et une nouvelle hypothèse; il était moine et ce qui venait des Arabes était suspect. Il a peut-être craint d'être accusé de sorcellerie; il aurait alors inventé son abaque comme un moyen terme, entre l'abaque à lignes lié aux chiffres romains et la science arabe qui connaissait la numérotation de position et le zéro. La question reste entière…  
   

Supplanté par le calcul arabe

 
    L'avenir de l'abaque de Gerbert a été très modeste, pour une raison que le moine ne pouvait pas prévoir. L'engin n'intéressait qu'une élite, les meilleurs calculateurs; or cette même clientèle s'est jetée sur le nouveau calcul rendu possible par la numération de position, elle-même fondée sur les chiffres arabes et le zéro - dès qu'il s'est répandu en Europe chrétienne, vers la fin du XIIe siècle. Ces mêmes personnes ont considéré dès lors l'abaque de Gerbert comme trop compliqué par rapport à la division par effacement ou biffage qu'il était désormais facile de réaliser par écrit.  
   

Sur cette abaque classique (XVe siècle), les lignes correspondent, de bas en haut, aux unités, dizaines, centaines et milliers, et les positions intermédiaires aux valeurs 5, 50 et 500. La hauteur à laquelle un jeton est posé détermine la "valeur"qu'il prend momentanément. Les jetons disposés ici représentent les trois étapes d'une addition. Les deux nombres à additionner, 17 et 18 (a), sont rapprochés pour former l'addition (b), puis une réduction du nombre de jetons est effectuée (c) en remplaçant deux jetons intermédiaires valant 5 par un jeton sur la ligne des dizaines, et cinq jetons unités par un jeton intermédiaire entre la ligne des unités et celle des dizaines. Le résultat obtenu est trois jetons sur la ligne des dizaines et un jeton intermédiaire valant 5, soit 35.

 
       
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