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    Citédoc 46 : Mathématiques et fractals  
    Cité des Sciences et de l'Industrie - citédoc 36 - 2003-12-01      
    repères  
    des Grecs… aux noms de théorème
La Grèce antique a joué un rôle essentiel dans le développement des mathématiques. Chez les Babyloniens et les Égyptiens, les mathématiques apparaissent sous un aspect utilitaire autant que scientifique. Mais avec les Grecs, géomètres avant tout, elles deviennent une science abstraite et déductive.
 
    Thalès de Milet
Philosophe, mathématicien, astronome pour les uns, ingénieur, commerçant et homme d'État pour d'autres, Thalès (fin VIle - début VIe avant J.-C.) est présenté comme le fondateur de la géométrie grecque bien que son apport réel soit difficile à évaluer. Il aurait calculé la hauteur de la grande pyramide d'Égypte en comparant son ombre portée au sol avec celle d'un bâton de longueur connue.
 
    Pythagore de Samos
Pythagore (VIe siècle avant J.-C.) fonde une école religieuse et philosophique en Italie du Sud. Son nom est associé à une compréhension du monde à partir des nombres dans une perspective mystique. L'école des Pythagoriciens privilégie l'étude des nombres entiers, appelée arithmétique, et développe une théorie des proportions qui concerne les rapports de nombres entiers. Or, les Pythagoriciens ne réussissent pas à exprimer numériquement certains rapports, par exemple entre le côté et la diagonale d'un carré. De cette rupture entre intuition et raisonnement émergent l'idée de démonstration et la première réflexion sur le fondement des mathématiques.
 
    Platon et Aristote
"Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre" : c'est, selon la légende, ce que l'on peut lire à l'entrée de l'école de Platon (428-347 avant J.-C.). Ce philosophe encourage l'étude des mathématiques et s'interroge sur leur nature. Les Platoniciens sont en effet les premiers à mettre en évidence le caractère abstrait des mathématiques; ils développent le raisonnement déductif qui ne fait appel ni à l'expérience, ni à l'observation. Aristote (384-322 avant J.-C.), le plus célèbre des élèves de Platon, crée sa propre école à Athènes. Comme les Platoniciens, les Aristotéliciens étudient le lien entre le monde abstrait des mathématiques et le monde sensible mais pour eux, l'étude des objets mathématiques se fait à partir des propriétés des corps physiques. Aristote codifie les lois du raisonnement, devenant ainsi le fondateur de la logique : "Savoir, c'est connaître par le moyen de la démonstration".
 
    Euclide
Géomètre, Euclide (315- 255 avant J.-C.) marque la fin de la période classique. Les treize livres de ses Éléments de géométrie synthétisent l'essentiel des travaux connus auquel s'ajoutent des recherches originales. L'introduction du raisonnement hypothético-déductif permet d'obtenir des propositions de plus en plus complexes à partir de quelques définitions, axiomes et postulats (propriétés admises sans démonstration). Les Éléments se caractérisent par la clarté et la rigueur de leurs démonstrations; étudiés au cours de tous les siècles, ils exercèrent jusqu'au début du XXe siècle une grande influence sur le développement des mathématiques. La géométrie euclidienne, censée décrire idéalement notre monde physique, repose en particulier sur le cinquième postulat : "Dans un plan, par un point donné, on ne peut mener qu'une seule droite parallèle à une droite donnée".
 
    la notion de fonction et la géométrie analytique
L'idée de fonction est récente. C'est au XIVe siècle que l'on assiste à un début timide sur le sujet : à Paris, Nicole d'Oresme (entre 1348 et 1362) est le premier à représenter graphiquement une relation de type fonctionnel entre le temps et la vitesse, conçue comme qualité d'un mouvement. Il faut attendre Descartes (1596-1650) et Fermat (1601-1665) pour que la notion de fonction se précise. La plupart des fonctions introduites au XVle siècle sont d'abord étudiées comme définissant des courbes, celles-ci étant elles-mêmes considérées comme des trajectoires de points en mouvement. La géométrie des coordonnées, issue des travaux de Descartes, rencontre une grande popularité auprès des scientifiques. Son objectif est de mettre en équations tous les problèmes géométriques : un point du plan est représenté par deux nombres x et y, et une courbe géométrique par une équation dite "cartésienne" : f (x,y) = 0. Pour la première fois est énoncée l'idée d'une relation de dépendance entre quantités variables, l'une permettant de déterminer l'autre. Avec cette géométrie dite analytique, le calcul se substitue au discours géométrique des Anciens. Finalement, c'est dans le domaine de la géométrie des courbes qu'est défini pour la première fois le terme de fonction; Leibniz écrit en 1718 : "On appelle fonction d'une grandeur variable une quantité composée, de quelque manière que ce soit, de cette grandeur variable et de constantes".
 
    de nouvelles géométries
Au début du XIXe siècle, la possibilité d'une géométrie, aussi cohérente que celle d'Euclide mais fondée sur d'autres principes, est envisagée par Gauss (1777-1855) qui n'ose publier ses écrits. À sa suite, une véritable révolution s'effectue avec la construction de nouvelles géométries qui remplacent le cinquième postulat d'Euclide par l'un des énoncés suivants : soit par un point donné, il y a une infinité de droites parallèles à une droite donnée (Lobatchevski [1793-1856] et Bolyai [1802-1860]); soit il n'y en a aucune (Riemann [1826-1866]). Les travaux de ce dernier se révèleront par la suite des outils appropriés pour la théorie de la Relativité générale.
 
    points d'interrogation
Qu'est-ce que la géométrie fractale ? Vers la fin du XIXe siècle, les mathématiques classiques sont contestées : Cantor (1845-1918) remet en cause certains fondements de la géométrie, en particulier la notion de dimension*. Comme d'autres mathématiciens (Péano et Hubert entre autres), il fabrique des "monstres" : des courbes continues sans tangentes dont un des exemples est le "flocon de neige"conçu en 1906 par von Koch.
 
    Hors du champ mathématique, ces objets purement abstraits ne semblaient présenter aucun intérêt. Pourtant, à partir de 1965, ils vont être abordés sous l'angle géométrique par le mathématicien Mandelbrot qui va les utiliser comme modèles de formes naturelles : contours de nuages, ramures d'arbres, réseaux de rivières, coupes du cerveau… Mandeibrot invente en 1975 le terme de "fractal", du latin fractus : brisé, irrégulier.  
    Cette nouvelle géométrie traite des objets présentant une combinaison paradoxale entre une évidente irrégularité et une similitude interne : les courbes fractales sont brisées, fragmentées, les surfaces fractales sont poreuses, rugueuses, mais, si on change d'échelle d'observation, on constate que la structure d'une partie quelconque est identique à la structure globale.  
    quelles particularités présentent les fractals ?
D'un point de vue géométrique, les fractals peuvent être considérés comme des ((formes intermédiaires"entre un point et une ligne, ou entre une ligne et une surface, ou entre une surface et un volume. Ainsi, la côte de Bretagne, qui constitue un exemple concret de fractal, a une longueur qui tend à devenir infinie si on utilise une mesure de plus en plus précise, mais elle est contenue dans une surface limitée : elle est plus qu'une ligne et moins qu'une surface (sa dimension fractale sera comprise entre 1 et 2). De même, le poumon a une paroi interne extrêmement plissée, pour une surface de contact maximum entre l'air et le sang, et un volume limité : c'est un objet fractal intermédiaire entre une surface et un volume (sa dimension est donc comprise entre 2 et 3). De fait, ce nouveau concept de dimension a été défini de manière rigoureuse dès 1919 par le mathématicien Hausdorff.
 
    où utilise-t-on les fractals ?
La géométrie fractale modélise une grande variété de phénomènes dans des domaines aussi divers que la géophysique, l'hydrologie, la météorologie, la botanique, l'anatomie, l'électrochimie, a métallurgie… Au moment où il la qualifiait de géométrie de la nature, Mandelbrot rappelait non sans malice qu'elle doit énormément à l'ordinateur, symbole même du technique et de l'artificiel
 
    qu'est-ce que le chaos déterministe ?
Pendant deux siècles, les travaux de Newton (1642-1727) ont imposé à la science le principe du déterminisme* : dès que l'on connaît les équations qui régissent un système ainsi que les conditions initiales, on peut prévoir tout état futur du système. Ainsi Laplace (1749-1827) et les positivistes du XIXe siècle affirment que le monde sera déterminé pour toujours dès que l'on disposera d'une quantité suffisante d'informations. Mais, au début du XXe siècle, le mathématicien Henri Poincaré (1854-1912) ébranle ces certitudes : en étudiant le problème des trois corps (Soleil-Terre-Lune), il découvre un système qui comporte peu de variables et qui peut avoir un comportement instable il a alors l'intuition que ce système possède la propriété dite de ((sensibilité aux conditions initiales".
 
    Ce n'est qu'au début des années 1960 que Edward N. Lorenz mettra, par hasard, en évidence cette propriété : travaillant sur un modèle très simplifié de météorologie et voulant abréger un calcul en cours, il entre dans son ordinateur des données arrondies, et les résultats sont très différents des conclusions antérieures Voici défini le chaos déterministe un système simple, décrit par des relations mathématiques déterminées, peut avoir un comportement complexe et imprévisible à moyen terme ainsi le plus infime changement dans les conditions initiales peut entraîner d'énormes différences d'évolution; c'est le célèbre ((effet papillon" : le moindre battement d'ailes d'un papillon à Hong Kong peut déclencher une tempête à New York un mois plus tard.  
    y a-t-il un autre chaos ?
C'est la science de la complexité qui s'intéresse plus généralement aux phénomènes imprédictibles. Elle utilise souvent par extension le terme de chaos, appliqué alors à des systèmes dépendant d'une telle quantité de paramètres que leur analyse détaillée est impossible. Leur comportement semble aléatoire* : c'est le cas des phénomènes de turbulence, du mouvement brownien d'une particule heurtée par des molécules d'eau (qui s'assimile curieusement au dispositif du tirage du Loto) ou de nombreux phénomènes économiques (tels les cours de la Bourse)…
 
    et maintenant ?
Depuis une trentaine d'années, les recherches liées au chaos impliquent de nouvelles méthodes de travail où l'ordinateur est omniprésent et où l'on utilise entre autres les propriétés de la géométrie fractale. Elles mobilisent aussi bien des mathématiciens que des physiciens, chimistes, biologistes, et… brouillent les frontières entre les différentes disciplines ! Le chaos aura certainement de nombreuses applications, mais c'est avant tout une science nouvelle qui a balayé des certitudes en explorant la complexité en découvrant un désordre imprévu et parfois un ordre imprévu dans le désordre, elle poursuit sa recherche sur la nature du hasard.
 
   

Lexique

 
aléatoire   (adj.) Qui dépend du hasard (s'oppose à déterministe).  
chaos   Théorie décrivant les phénomènes à la fois complexes et imprédictibles.  
courbe   (adj.) Qui s'oppose à "droite"pour une ligne, à "plane"pour une surface. (nom) En géométrie analytique : ensemble des points dont les coordonnées vérifient une équation donnée. débit volume de liquide écoulé par unité de temps.  
déterministe   (adj.) Qui se rapporte à un système dépendant de lois connues ou d'événements antérieurs (s'oppose à aléatoire).  
dimension   (au sing) Nombre de coordonnées permettant de repérer un point (un repère étant choisi) : sur la droite, c'est 1; dans le plan, c'est 2; dans l'espace, c'est 3. (au pluriel) Mesures des différentes longueurs caractérisant une figure ou un objet.  
échelle   Rapport entre la longueur d'un objet représenté sur un dessin (une carte, une maquette…) et sa longueur réelle.  
fonction   Relation qui, à un objet de départ x (le plus souvent un nombre), associe au maximum un objet y; s'il existe, y est appelé l'image de x par la fonction. hypoténuse côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle,  
pavé   Polyèdre limité par six faces deux à deux parallèles; si ces faces sont des rectangles, le pavé est droit. périodique (adj.) Qui se reproduit à des intervalles réguliers.  
polyèdre   Solide limité par des faces planes qui sont des polygones; les sommets et les arêtes d'un polyèdre sont les sommets et les côtés de ses faces.  
polygone   Figure plane limitée par une ligne brisée fermée; les extrémités des segments sont les sommets du polygone et les segments eux-mêmes sont ses côtés.  
proportionnalité   Deux suites de nombres sont proportionnelles si l'on obtient l'une en multipliant l'autre par un nombre fixe appelé coefficient de proportionnalité; exemple : les suites 2, 3, 5 et 6, 9, 15 sont proportionnelles (coefficient 3).  
régulier   (adj.) un polygone est régulier s'il peut s'inscrire dans un cercle et si tous ses côtés sont égaux; un polyèdre est régulier s'il peut s'inscrire dans une sphère et si toutes ses faces sont semblables et égales.  
       
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